top of page

חור בהשכלה - פרק 6: האינסוף

האם האינסוף הוא משהו אמיתי או משהו תיאורטי? כמה אנשים יכולים להשתכן במלון של הילברט? האם היקום הוא סופי או אינסופי? האם קוף מסוגל לכתוב את המלט של שייקספיר ואת שני משוגעים של עומר אדם? ואיך כל זה קשור ליוונים מאיטליה?

בפרק השישי של "חור בהשכלה" נדבר על האינסוף ונבחן אותו מהכיוון הפילוסופי, המתמטי והקוסמולוגי. נסקור את ההיסטוריה של החשיבה על האינסוף כקונספט מתמטי וכקונספט ממשי ונדבר על האנשים שעזרו לנו להבין את האינסוף קצת יותר, כמו גיאורג קנטור ועמנואל קאנט. כמו כן, ננסה להבין מאיפה הגיע אלינו סמל האינסוף והאם זה קשור לנחשים ודרקונים במצרים העתיקה.


 

תאריך עליית הפרק לאוויר: 10/05/2020.

שלום לכולם וברוכים הבאים לעוד פרק של 'חור בהשכלה'.

כאן יובל שדה ואני רוצה להזמין אתכם להצטרף לקבוצת הפייסבוק שלנו ולעקוב אחר דף הפייסבוק שלנו, שם תוכלו לקבל מידע נוסף על דברים שנאמרו בפרקים ותוכלו להשפיע בעצמכם על התכנים של הפרקים הבאים.

יאללה, בואו נתחיל עוד פרק.

(מוזיקת פתיחה)

יש ציטוט מאוד מפורסם של איינשטיין, בו הוא אומר, שישנם שני דברים שהם אינסופיים - הראשון זה היקום ואילו השני, השני זאת הטיפשות האנושית. והוא לא לגמרי בטוח שהיקום הוא אינסופי. מה זאת אומרת? כנראה שאתם טיפשים, משהו כזה. אז הציטוט הזה אומנם מיוחס לאיינשטיין, אבל בכלל לא בטוח שהוא אמר את זה. המקור שלו לא ממש ברור, זה מגיע מאיזה ספר שמצטט מישהו ששמע את זה מאיינשטיין. בקיצור, אולי זו הוכחה שאנחנו באמת מאמינים לכל דבר, אבל לא בטוח שזאת הוכחה שאנחנו טיפשים.

בכל מקרה, רוב האנשים ששומעים את הציטוט הזה מתייחסים לחלק של הטיפשות בו כאילו זה החלק המעניין. אבל, החלק היותר מעניין של הציטוט, זה לא החלק הקומי שמדבר על הטיפשות אלא החלק שמדבר על זה שהיקום הוא אינסופי. היקום הוא באמת אינסופי? מה זה אומר? ובכללי, מה זה אומר כל הסיפור הזה של אינסוף, מה זה, זה מספר, זה גודל? בפרק הזה, ננסה לענות על השאלות הללו ועל עוד כל מיני שאלות שעולות בהקשר הזה.

אני אדבר על אינסוף במובן הפילוסופי ואיך בכללי חשבו על הקונספט הזה. אני אדבר אחר כך על המושג המתמטי של אינסוף ומשם אעבור לדבר על המושג הקוסמולוגי-אסטרונומי של האינסוף, או אולי פיזיקלי - נדבר על חלל וזמן ויקום ודברים כאלה. בסוף אתייחס בקצרה לסמל של האינסוף, אותו שמונה שוכב, ונדבר עליו ועל המשמעויות שניתנו לו.

נראה לי שהולך להיות לנו פרק מאוד מעניין, אז בואו נתחיל.

(מעברון מוזיקלי)

אז אמרתי שאפתח את הפרק הנוכחי בזה שאני אדבר על אינסוף מהכיוון הפילוסופי ולא מהכיוון המתמטי, שזה קצת מוזר כי למה לדבר על הפילוסופיה של מושג מתמטי? אז מה שעוד יותר מוזר זה, שפעם לא הייתה את ההפרדה הזאת בין פילוסופים למתמטיקאים, זה פשוט היו אותם אנשים. וגם, לא הייתה את ההפרדה כל כך בין פילוסופיה למתמטיקה. והבן אדם שהתחיל את כל הסיפור הזה היה הבחור שכולנו מכירים אותו מזוויות המשולש - פיתגורס.

פיתגורס נולד באי סאמוס שביוון, במאה השישית לפני הספירה, ובמהלך חייו הוא נדד ממקום למקום והגיע לספרטה, והגיע לבבל, ואז החליט להתיישב במושבה היוונית שבדרום איטליה. באותה תקופה, היו מושבות של יוונים באיטליה ובטורקיה ובים השחור, וכמעט בכל מקום. זה היה סוג של קולוניאליזם מאוד-מאוד מוקדם של היוונים.

בכל מקרה, פיתגורס היה בחור מאוד מוכשר. חוץ מהסיפור הזה עם יחס הזוויות במשולש, הוא הראשון שטען שכדור הארץ הוא עגול ושהוא בתנועה כל הזמן. וכמו הרבה אנשים מוכשרים אחרים, פיתגורס הנהיג כת. כן, פיתגורס הנהיג כת שקראו לה הפיתגוראים. שם מקורי וממש לא נרקיסיסטי.

הכת של פיתגורס הייתה סך הכל די חמודה. הם התעסקו הרבה בלימודים ובפילוסופיה ובכושר גופני והם אפילו היו צמחוניים. אבל מה הייתה האמונה של אותה כת פיתגוראית?

אז הם האמינו בשני דברים - הפארס ומצד שני האפיירון. הפארס היה משהו חיובי, הוא התייחס לסדר, ולארגון ולדברים כאלה. לעומת זאת, האפיירון ייצג את החוסר גבולות ואת האנרכיה, את הדברים הלא סופיים. או בקיצור, הפיתגוראים מאוד אהבו סדר ומאוד לא אהבו דברים שהם לא ממש ברורים. הם אפילו חשבו שאפשר לייצג את כל העולם בייצוג מספרי - המתמטיקה יכולה להסביר לנו את העולם.

מהר מאוד, אותם פיתגוראים הגיעו לבעיה. הבעיה הזאת צצה ברגע שפיתגורס התחיל בעצמו להתעסק במספרים שהם לא שלמים - לדוגמה, שורש של שתיים. המפגש הזה של הפיתגוראים עם המספר שורש שתיים היה מזעזע. הם רק רצו לייצג את העולם במספרים, ופתאום הם מוצאים מספר שהוא לא מסודר וגם אין לו גבול. מספר לא רציונלי. מספר שנראה כמו 1.414 ואינסוף ספרות אחר כך. וזה התיעוד הראשון שיש לנו על המפגש של האדם המערבי עם הקונספט של אינסוף.

אבל באותה תקופה, פיתגורס והחברים שלו לא היו היחידים שעסקו במושג של אינסוף. היה עוד בחור, שקראו לו זנון, שגם הוא אהב את הנושא הזה. זנון, שהיה גם הוא יווני מדרום איטליה, רצה להראות בעזרת הפרדוקסים המפורסמים שלו שאי אפשר לסמוך על החושים האנושיים. הפרדוקס הכי מפורסם של זנון היה אכילס והצב.

הפרדוקס של אכילס והצב מתאר מצב - משחק מילים - שבו אכילס, שהוא הרץ הכי מהיר בעולם, רץ במהירות שהיא פי 10 מהמהירות של הצב. אכילס והצב כמובן התחרו בתחרות מרוץ, אחרת לא היה לנו מעניין. וכדי שלצב יהיה איזשהו סיכוי, אכילס נותן לו יתרון של כ-100 מטרים.

עכשיו, הפרדוקס הזה קצת מורכב או מוזר, אבל תנסו להיות בפוקוס כדי להבין מה קורה. המרוץ התחיל, ואכילס הספיק לרוץ כ-100 מטרים. באותה נקודת זמן, הצב שרץ, כאמור, בקצב שהוא עשירית מזה של אכילס, רץ כ-10 מטרים. וככה הצב נשאר ביתרון על אכילס, יתרון של 10 מטרים. אכילס, שכמובן רצה לצמצם את המרחק, רץ עוד 10 מטרים ובזמן הזה הצב רץ כמטר נוסף. הצב עדיין ביתרון. וככה זה ממשיך. אכילס מתקדם מטר, והצב מתקדם 10 ס"מ. אכילס מתקדם 10 ס"מ, והצב מתקדם סנטימטר. אבל באופן פלאי, הצב נשאר כל הזמן ביתרון על אכילס.

מה שזנון תיאר כאן, זו בעצם סדרה הנדסית, הסדרה ההנדסית הראשונה בעולם. ומה שמיוחד באותה סדרה הנדסית, זה שהיא אינסופית. אפשר להמשיך עם התהליך הזה לנצח.

הפרדוקס הכביכול טיפשי הזה העסיק את המתמטיקאים בכל העולם במשך 2,000 שנה, והוא נפתר רק עם גילוי האינפי על ידי ניוטון ולייבניץ במאה ה-17. נגיע לזה, אבל זה עוד לא הזמן.

מהסיפור של זנון, וגם מהסיפור של פיתגורס, אנחנו יכולים להבין שהעיסוק באינסוף התחיל ממספרים מאוד-מאוד קטנים ולאו דווקא ממספרים מאוד גדולים, ואנחנו נראה שהמגמה הזאת ממשיכה לאורך ההיסטוריה.

הדבר השני שאפשר להבין משני הסיפורים של זנון ופיתגורס זה שבאותה תקופה חשבו על האינסוף לאו דווקא כגודל, אלא כתהליך. תהליך שמתמשך לנצח. זה לא משנה אם זה מספרים שלא נגמרים או מרוץ שלא נגמר. החשיבה על אינסוף בתור תהליך המשיכה עוד כ-200 שנה, עד שבא יווני מפורסם נוסף והחליט שהוא עושה סדר בעניין. לאותו בחור קראו אריסטו.

אריסטו הוא פילוסוף מאוד מפורסם ואפשר לדבר עליו המון. אני לא ארחיב עליו יותר מדי, אני רק אגיד שהפילוסופיה שלו, באיזשהו מקום, הרבה יותר מזכירה מדע משהיא מזכירה פילוסופיה. אריסטו התעניין מאוד בכימיה ובפיזיקה ובביולוגיה, ולהבין איך דברים עובדים, והגישה המדעית שלו היא שהפכה אותו לכל כך מפורסם וכל כך משפיע.

אז אריסטו שלנו החליט שהוא עושה סדר במושג אינסוף, והוא הגדיר את האינסוף בתור משהו שהוא בלתי נגמר, ומשהו שלא ניתן להגיע אליו. אבל אריסטו חשב שיש בעיה עם האינסוף כמו שאנחנו תופסים אותו כרגע.

מצד אחד, הפרדוקסים של זנון הופכים את האינסוף למשהו מאוד תיאורטי, הרי ברור לנו שאכילס ינצח את הצב ולכן זה איזשהו שעשוע של חוקרים, כמו חידת היגיון. ואילו מצד שני, הפיתגוראים הראו שהאינסוף הוא דבר ממשי. מספרים, כמו שורש 2 או פאי, הם אינסופיים והם מאוד רלוונטיים למציאות והם לא רק שעשוע של חוקרים. ולכן הייתה איזושהי דילמה שהיא קיימת גם היום, האם האינסוף הוא דבר שהוא רלוונטי למציאות או שהוא משהו תיאורטי לחלוטין.

אריסטו כביכול פתר את הבעיה הזאת בכך שחילק את האינסוף לשני סוגי אינסוף: אינסוף אקטואלי ואינסוף פוטנציאלי. האינסוף האקטואלי מתייחס לאינסוף שנמצא בנקודה מסוימת בזמן, ואילו האינסוף הפוטנציאלי מתייחס לאינסוף שמתרחש לאורך זמן, זה האינסוף התהליכי. אריסטו טען שכל ההתנגדויות לאינסוף הן רק לאינסוף האקטואלי, ולא לאינסוף הפוטנציאלי. למה? כי אפשר להגיד שכל תהליך יכול להתמשך לנצח, זה לא אומר שהוא בפועל יעשה את זה, כי בפועל זה כבר האקטואלי. ולכן, אריסטו טען שאין שום בעיה עם קיומם של אינסופים פוטנציאליים, אלא רק עם אינסוף אקטואלי. ובדיוק מהסיבה הזאת, אריסטו טען שיש רק דבר אחד שיש לו אינסופיות אקטואלית, הדבר הזה הוא הזמן, הדבר היחיד שלפי אריסטו נמשך לנצח.

תפיסת האינסוף של אריסטו שלטה במדע במשך כאלפיים שנה, עד לעידן הנאורות של המאה ה-17. באותה תקופה הפילוסופים האירופאיים התחלקו לשתי קבוצות: הקבוצה הרציונליסטית והקבוצה האמפיריציסטית. שתי הקבוצות הללו לא הסכימו על שום דבר, אבל בסיס הוויכוח ביניהם היה שהאמפיריציסטים טענו שאפשר לסמוך רק על דברים שמגיעים דרך חושים, זאת אומרת דרך ניסויים אמפיריים מדעיים, ולעומתם הרציונליסטים האמינו שאפשר להגיע לאמת דרך חשיבה, דרך מתמטיקה, דרך לוגיקה.

באופן די הגיוני, האמפיריציסטים התנגדו למושג של אינסוף, ואילו הרציונליסטים תמכו בו.

לאמפיריציסטים היה טיעון מאוד אינטואיטיבי. הם אמרו שהם מעולם לא פגשו אינסוף, הם לא ראו אינסוף, הם מעולם לא נתקלו בדבר שהוא אינסופי, ולכן סביר להניח שאינסוף זאת איזושהי המצאה של מתמטיקאים שלא קשורה למציאות האמיתית.

לעומתם, הרציונליסטים אמרו שאם אנחנו יכולים לחשוב על אינסוף, וזה קונספט שאפשר לדבר עליו, אז כנראה שהוא קיים. חלק מאותם פילוסופים רציונליסטים שתמכו ברעיון הזה היו מתמטיקאים שפיתחו קונספטים מתמטיים שמשתמשים באינסוף כמו דקארט, שהמציא את מערכת הצירים, או לייבניץ, שבמקביל לניוטון המציא את האינפי שנדבר עליו.

אז יש אינסוף או אין אינסוף? מי צודק, האמפיריציסטים או הרציונליסטים? אז התשובה הנכונה היא כמובן שאף אחד מהם לא צודק, כי מי שצודק זה קאנט, עמנואל קאנט. אפשר להשיב את הדבר הזה ככלל אצבע, ברגע שיש איזשהו קונספט פילוסופי לא ברור שיש עליו ויכוח, אז כנראה שקאנט צודק לגביו. הוא כנראה מסביר את זה בצורה מזעזעת ולא ברורה, אבל הוא צודק.

אז מה קאנט אומר לגבי האינסוף? נתחיל מזה שקאנט חושב שהאינסוף הוא לא גודל אלא יחס. זאת אומרת, שאינסוף חייב להתקיים לעומת משהו אחר, אינסוף הוא תמיד גדול יותר ממשהו אחר. לפי קאנט, סדרה אינסופית היא סדרה שאי אפשר להשלים אותה על ידי הוספה של עוד איבר. הגישה הזאת של קאנט מתנגדת לתפיסה של האינסוף בתור איזשהו גודל מקסימלי. זה לא גודל, זה יחס. אם אתם חושבים שההסבר הזה לא ברור זה בסדר, כי העמדה האמיתית של קאנט היא שהאדם לא באמת יכול לתפוס מה זה האינסוף. והייתה לו הוכחה די מגניבה לזה.

בשביל להוכיח את כל הסיפור הזה, קאנט מציג לנו שתי טענות סותרות, התזה והאנטיתזה. התזה של קאנט מנסה להראות שהיקום סופי, ולכן היא מנסה להוכיח שזה לא הגיוני שהוא יהיה אינסופי. במתמטיקה קוראים לזה הוכחה שבשלילה. ההוכחה של קאנט מתחילה בזה שהוא טוען שלא הגיוני שהזמן הוא אינסופי, כי בכל נקודה ספציפית של זמן, חלף זמן סופי כלשהו. לא הבנתם? תדמיינו שאתם סופרים מתחילת הזמן עד אינסוף. ברגע שעוצרים בנקודת זמן כלשהי, אז הנקודה הזאת סופית כי הגעתם למספר כלשהו. ובצורה הזאת, קאנט הסיק שהזמן הוא לא אינסופי, כי בכל רגע הוא סופי. ואם הזמן שלנו סופי, אז בוודאי ובוודאי שהמרחב הוא סופי, כי אין לנו אינסוף זמן בשביל לוודא את זה בכלל. ומכאן קאנט השיג שהזמן והמרחב הם סופיים. וכאמור זאת התזה.

מה הבעיה? שיש לנו גם אנטיתזה, שבה קאנט טוען בדיוק את ההפך. לפי האנטיתזה, העולם הוא אינסופי, ולכן קאנט מנסה להוכיח שעולם סופי הוא בלתי אפשרי. שוב, מדובר בהוכחה שבשלילה. קאנט מתאר שעולם סופי יהיה מוקף באיזשהו ריק, כי זו המשמעות של מרחב סופי. ואם היקום מוקף באיזשהו ריק, אז קיים איזשהו יחס בין היקום לאותו ריק. אבל לא יכול להתקיים יחס בין משהו לבין ריק, כי ריק זה כלום, וזה אומר שיקום סופי מוביל אותנו לאיזושהי סתירה לוגית שהמוח שלנו בכלל לא יכול לתפוס אותה. ובאופן הזה, לפי האנטיתזה, קאנט מוכיח לנו שהיקום הוא אינסופי.

שנייה, משהו פה מוזר - אז התזה אומרת לנו שהיקום הוא סופי והאנטיתזה אומרת לנו שהיקום הוא אינסופי? יש פה סתירה. וזאת בדיוק הנקודה שקאנט רצה להגיע אליה. קאנט מוכיח שהעולם הוא לא סופי ולא אינסופי. בפילוסופיה נהוג לקרוא למהלך של קאנט "רדוקטיו עד אבסורדום". זאת אומרת, שקאנט הצליח לקחת הנחות מקוריות וללכת איתם כל כך רחוק עד שהוא הגיע לאיזשהו אבסורד, לסתירה לא ברורה. מה עושים במקרה של רדוקטיו עד אבסורדום? זורקים את ההנחות לפח.

וזה בדיוק מה שקאנט חושב שצריך לעשות. המהלך של קאנט מנסה להוביל אותנו לאיזושהי מסקנה שאומרת שיש דברים שהאדם לא יכול להתעסק בהם, הוא לא יכול לחשוב עליהם. למה? כי השכל שלנו מוגבל והחוויה שלנו היא מוגבלת, אנחנו מוגבלים לחשיבה של חלל וזמן. והאינסוף, האינסוף לא נמצא במושגים האלה שהחלל וזמן שלנו יכולים לתפוס.

אגב, קאנט חשב בדיוק את אותו דבר לגבי אלוהים. הוא חשב שזה מושג מופשט שאנחנו לא יכולים לתפוס אותו, ולכן כל ויכוח על האם יש או אין אלוהים הוא עקר. כי גם אם יש אלוהים וגם אם אין אלוהים, פשוט אין לנו מושג ואין לנו שום דרך לדעת את זה.

אם איבדתם אותי לגמרי בכל הטיעונים של קאנט, זה בסדר גמור. קאנט הוא פילוסוף מאוד מורכב וקשה מאוד להבין אותו. יש סיכוי טוב שאני לא הסברתי אותו עד הסוף, כי אני לא הבנתי אותו עד הסוף. אבל הוא בחור מאוד חכם וכדאי להקשיב למה שהוא אומר, גם אם לא מבינים את מה שהוא אומר. תמיד אפשר להנהן בנימוס ולעשות כאילו אתה מבין. זה מה שעשיתי ברוב לימודי הפילוסופיה שלי.

ועכשיו, בנימה אופטימית זו, אחרי שסיימנו לדבר על הפילוסופיה של האינסוף והבנו שאנחנו לא מבינים שום דבר לגבי האינסוף, האם הוא קיים במציאות או שהוא קיים רק במוח שלנו, נעבור לדבר על המושג המתמטי של אינסוף. תחזיקו חזק, זה הולך להיות מורכב.

(מעברון מוזיקלי)

אז מה זה האינסוף המתמטי? כולנו מכירים את הסימן המוזר הזה של השמונה ששוכב על הצד. אבל מה זה אומר? מה, זה פשוט המספר הכי גדול שיש? אז, כנראה שכבר הבנתם מהדיון הפילוסופי, שפשוט זה לא יהיה. אז מה כן אפשר להגיד על האינסוף המתמטי? קודם כל, שמדובר בדבר שאין לו סוף, אובייסלי, ושהמוח האנושי לא ממש יכול לתפוס את זה. דהיינו, שהאינסוף הוא קונספט מופשט, משהו שאנחנו לא מכירים מחיי היומיום שלנו.

כמו שאמרתי בחלק הפילוסופי, ההתייחסות המתמטית הרצינית הראשונה לאינסוף הייתה בפרדוקסים של זנון. אבל הבעיה הזאת שזנון הציג, הייתה איזושהי בעיה אינטלקטואלית, לא משהו שהתעסקו איתו יותר מדי ולא משהו שהרגיש רלוונטי למציאות או לחיי היומיום. הדבר הזה השתנה במאה ה-17 עם הגותם של לייבניץ וניוטון, שפיתחו כל אחד בנפרד את החשבון האינפיניטסימלי, או האינפי. יש לסוג החשבון הזה עוד שם, חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, או חדו"א. וכנראה שכל מי שסיים תיכון בישראל נתקל בסוג הזה של מתמטיקה, כל מה שקשור לנגזרות ואינטגרלים זה אינפי.

למרות שרובנו לא משתמשים באינפי ביומיום, אי אפשר לדמיין את החיים המודרניים בלי התחום המתמטי הזה. אין כמעט תחום במדע המודרני שלא משתמש במשוואות של אינפי, וזה לא משנה אם זה כלכלה או פיזיקה או כימיה או הנדסה, ואפילו מדעי המדינה. כולם, בצורה כזאת או אחרת, מתבססים על מודלים של חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי.

רגע, אבל מה הקשר לאינסוף? דיברנו על חדו"א ועל נגזרות ועל כל מיני דברים כאלה. איפה האינסוף בכל הסיפור הזה? אז החדו"א, או האינפי, מבוססים על מושג שקוראים לו האינפיניטסימל.

האינפיניטסימל הוא גודל קטן במידה אינסופית, אבל עדיין גדול מאפס. אפשר לחשוב על זה כמו על אחד חלקי אינסוף. התגלית של לייבניץ וניוטון היא, שאם משתמשים באותו גודל מאוד קטן, במספר הקטן באופן אינסופי הזה, אפשר לעשות דברים מאוד-מאוד שימושיים, כמו לחשב נגזרות. וברגע שיש לנו את היכולת לחשב נגזרות, נפתח בפנינו עולם שלם של אפשרויות. אפשר לחשב תאוצה ממהירות, אפשר לחשב שיפוע של גרף, אפשר להבין עם אינטגרלים את השטח של גרף. ובאופן הזה, אפשר לחשב גם נפחים של דברים. בקיצור, תגלית מטורפת שהתבססה כולה על השימוש באינסוף, משהו שהוא קטן באופן אינסופי.

אבל לא כולם אהבו את התגלית של לייבניץ וניוטון. זוכרים את הפילוסופים האמפיריציסטים, אלה שמאמינים רק לדברים שהם רואים ושומעים? אז הם אמרו שהתיאוריה הזאת היא שטויות ושאין דבר כזה אינסוף, ולכן צריך לבסס אותה על משהו אמיתי. ובאמת, במאה ה-19 מתמטיקאי בשם אוגוסטין לואי קושי הצליח לבסס את האינפי על גדלים ממשיים. ופתאום לא היה צריך את האינסוף, והוא הפך להיות קונספט לא מעניין ולא רלוונטי שעדיף בלעדיו. והמתמטיקאים זנחו את האינסוף, כי למה להם להשתמש במשהו שרק מסבך את התיאוריה שלהם. וזה באמת היה המצב, עד שהגיע מתמטיקאי בשם גאורג קנטור.

קנטור פיתח תורה מתמטית חדשה בשם תורת הקבוצות, ובין היתר, הוא דיבר על קבוצה מסוימת, קבוצת האינסופיים.

רגע, מה זו קבוצת האינסופיים? זאת אומרת שיש לנו יותר מאינסוף אחד? כן, זה בדיוק מה שקנטור אמר. אז בואו רגע נחזור לבסיס ונדבר שוב על מה זה אינסוף, לפחות מה זה אינסוף לפי קנטור. האינסוף של קנטור הוא כמות ולא תהליך, ונסביר בדיוק מה זאת אומרת כמות. ביום יום אנחנו משתמשים במספרים בשביל למנות, בשביל לספור דברים. עגבניה אחת, שני מלפפונים ושלושה חצילים.

בשפה יותר מתמטית, אפשר להגיד שהדברים הללו הם גדלים של קבוצות. במקרה שלנו, קבוצת החצילים היא מגודל שלוש. באותו אופן, ניתן להגיד שקבוצת המספרים הטבעיים, שאו קטנים מעשר או שווים לעשר הם קבוצה מגודל עשר, כי יש שם את כל המספרים, מ-1 עד עשר. אבל מה הגודל של קבוצה שכוללת את כל המספרים הזוגיים, או בכללי, את כל המספרים הטבעיים? הגודל של קבוצה כזאת הוא אינסוף. אבל זה לא הגודל האינסופי היחידי שקיים.

והמתמטיקאי דיוויד הילברט הצליח להמשיל את הסיפור הזה למלון, המלון של הילברט.

מי שיסביר לנו את זה כאן הוא, חברי אסף אתגר, מתמטיקאי בעצמו.

אסף: כדי להדגים את ההתנהגות המוזרה של גודל אינסופי, המתמטיקאי דיוויד הילברט סיפר את הסיפור הבא: דמיינו שאתם המנהלים של בית מלון בו יש אינסוף חדרים, המספרים 1, 2, 3 וכן הלאה. באחד הלילות, המלון היה בתפוסה מלאה אך בכל זאת הגיע אורח ורצה להיכנס למלון. כמארחים טובים, לא נסרב ונמצא פתרון.

כל אורח שנמצא בחדרו יעבור לחדר העוקב. כלומר, האורח בחדר מספר 1 עובר לחדר מספר 2, האורח בחדר מספר 2 עובר לחדר מספר 3 וכן הלאה. כעת, לכל האורחים הישנים יש חדר, וגם לאורח החדש, שכן חדר מספר 1 פנוי. כבר פה אנחנו רואים משהו מוזר. הרי המלון היה בתפוסה מלאה. איך יצרנו חדר חדש? כמובן שלא נצליח לעשות את הטריק הזה במספר סופי של חדרים, אבל נוכל לעשות משהו אפילו יותר מוזר.

נניח, כעת הגיעו אינסוף אורחים חדשים - אורח מספר 1, אורח מספר 2 וכו'. האם נמצא לכולם מקום? כמארחים טובים נצליח. לכל האורחים שכעת במלון נאמר לעבור לחדר שמספרו פי 2 ממספר החדר הנוכחי. האורח בחדר מספר 1 עובר לחדר מספר 2, האורח בחדר מספר 2 עובר לחדר מספר 4, האורח בחדר מספר 3 עובר לחדר מספר 6 וכן הלאה וכן הלאה. כעת כל החדרים הזוגיים תפוסים על ידי האורחים הישנים, אך כל החדרים האי-זוגיים פנויים. יש אינסוף חדרים אי-זוגיים וכולם פנויים. נוכל להכניס בהם את האורחים החדשים.

הילברט ממשיך עם עוד התנהגויות מוזרות כאלו ועולה שאלה טבעית - האם אי פעם תגיע כמות אורחים שלא נוכל להכניס? ובכן, התשובה היא כן, אבל זה לא מובן מאליו בכלל.

יובל: תודה לאסף על ההסבר. הקונספט הזה של האינסוף, כמו שתואר במלון של הילברט, פותח על ידי קנטור. אבל, בדומה לוואן גוך, או למאיר אריאל, קנטור לא מאוד הוערך בחייו, ורק לקראת סוף ימיו התחילו להבין את התיאוריות שהוא דיבר עליהן. בשנים האחרונות של קנטור, הוא נכנס לדיכאון ועזב את המתמטיקה לגמרי, ומה שהוא בעיקר ניסה לעשות זה להוכיח שוויליאם שייקספיר הוא לא באמת מי שכתב את כל היצירות שלו. תחביב מעניין.

מושג האינסוף של קנטור, זה המושג המקובל כיום על מתמטיקאים כשמדברים על אינסוף. אבל אפשר לדבר על עוד קונספטים מתמטיים שמשתמשים במושג אינסוף - לדוגמה, אינדוקציה מתמטית. אינדוקציה היא תהליך בו אנחנו לוקחים מקרה פרטי, וטוענים שהוא תקף על הכלל, מן הפרט אל הכלל. אז איך עושים את זה במתמטיקה? מוכיחים שמשפט מסוים, טענה מסוימת נכונה למספר 1, ואז מוכיחים שהיא נכונה למספר N, ואז מוכיחים שהיא נכונה למספר N+1.

אם אתם לא מכירים אינדוקציה מתמטית, לא נורא. זה לא כזה קריטי, זו רק טכניקה. אבל מה שחשוב, זה להבין את המחשבה של אינדוקציה, של לקחת מקרה פרטי ולהשליך אותו על הכלל. במדע, הרבה פעמים עושים ניסוי ומניחים שככה הדבר הזה מתנהג גם מחוץ לניסוי. וכשאנחנו מתנהגים בצורה גזענית, אנחנו לוקחים משהו ספציפי ומכלילים אותו לקבוצה שלמה. כל אלו הן דוגמאות לאינדוקציה.

אז למה אינדוקציה רלוונטית לאינסוף? בגלל שבאינדוקציה אנחנו לוקחים מקרה אחד ומשליכים אותו על אינסוף מקרים אחרים. תחשבו על זה שנייה, אנחנו עושים את זה כל הזמן. לדוגמה, כשמנסים להכניס תרופה מסוימת לשוק ומנסים לבדוק האם היא באמת עובדת אז מתחילים בניסוי על קבוצה מצומצמת. אם הניסוי מצליח והתרופה מאושרת, אז אפשר לשווק אותה לכל האוכלוסייה. זו פעולה של אינדוקציה, אנחנו לוקחים מקרה פרטי ומשליכים אותו על הכלל. ובמקרה הזה, אנחנו משליכים אותו לאינסוף מקרים אחרים ואנו מניחים שבכל פעם זה יפעל באותה צורה.

רגע, אז מי פיתח את כל הסיפור הזה של אינדוקציה מתמטית? מי האבא של זה? אז מי שפיתח את האינדוקציה המתמטית היה גאורג קנטור, הוא ולא אחר, אותו אחד של האינסופים. ולא, זה לא מקרי. ואם אנחנו כבר מדברים על מקריות, אז בואו נדבר על אינסוף קופים שמקלידים על אינסוף מכונות כתיבה.

אתם יודעים מה? אפילו יותר פשוט. בואו נדבר על קוף אחד שמקליד על מכונת כתיבה אחת, אבל לאינסוף זמן. על מה לעזאזל אני מדבר? אני מדבר על משפט "הקוף המקליד". המשפט הזה אומר שאם נשים קוף מול מכונת כתיבה הוא יקליד באופן אקראי כל מיני אותיות לאינסוף זמן, בסופו של דבר הוא יכתוב את כל הכתבים של שייקספיר, או את כל הספרים של עמוס עוז, או את כל השירים של דורון מדלי ועומר אדם, זה בכלל לא משנה.

רגע, רגע, רגע. אנחנו מדברים פה על הסתברויות, מה הסיכוי שהוא באמת יעשה את זה, שהוא יקליד את כל הכתבים של שייקספיר אם הוא יקליד אינסוף זמן? אז מה שיפה במשפט הזה, שההסתברות היא אחד. הוא בטוח יקליד את כל הכתבים של שייקספיר אם יעבור אינסוף זמן. זה חייב לקרות. יש לדבר הזה גם הוכחה מתמטית, אבל זה לא כזה משנה. ההנחה היא שכשעובר אינסוף זמן והקוף מקליד באופן אקראי, אז כל הדברים יקרו. זה ייקח המון המון זמן, אבל דיברנו על אינסוף, ואינסוף זה יותר מהמון המון זמן.

נראה לי שהגיע הזמן להפסיק לדבר על אינסוף במובן המתמטי, ולעבור לדבר על אינסוף במובן הקוסמולוגי, לדבר על אינסוף בהקשר של חלל וזמן. קצת דיברנו על זה עם קאנט ודברים כאלה, אבל נכנס טיפה יותר לעומק.

(מעברון מוזיקלי)

בחלק הזה, אדבר על האינסוף בכל מה שקשור ליקום. וכל מה שאני הולך לדבר עליו מתבסס, בצורה כזאת או אחרת, על תיאוריית המפץ הגדול.

אז מה זה המפץ הגדול? המפץ הגדול היא תיאוריה שטוענת שהיקום התחיל מנקודה אחת, וכמו בפיצוץ התפשט לכל הכיוונים. לפי התיאוריה הזאת, היקום הוא בין כ-13.8 מיליארד שנים. חשוב להגיד שאני אומר כל הזמן תיאוריה, תיאוריית המפץ הגדול, אבל התיאוריה הזאת היא קונצנזוס מוחלט בכל מה שקשור למדע המודרני. אין באמת תיאוריה מתחרה שמנסה להגיד שהדברים התנהלו בצורה אחרת.

אז מה המפץ הגדול אומר לנו? התיאוריה אומרת שהעולם התחיל מנקודה אחת שהיה בה מה שנקרא סינגולריות כבידתית. מה זו סינגולריות כבידתית? זאת נקודה שבה כוח הכבידה או כוח המשיכה הוא אינסוף. כן, אינסוף, הדבר הזה שאנחנו מדברים עליו בפרק. עוד דרך לתאר את זה היא להגיד שצפיפות החומר בנקודה הזאת הייתה אינסופית, שכל החומר שיש כיום ביקום היה כבר בתוך אותה נקודה סינגולרית. ולכן אפשר להבין מזה שהמפץ הגדול הוא התפשטות של אותה נקודה לכל שאר המרחב.

אז איך הדבר הזה קרה? איך מנקודה סינגולרית נוצרה לנו התפשטות של כל היקום? מדענים לא יודעים להגיד עד הסוף כי מאוד קשה להבין את הפיזיקה של אותה נקודה. אין לנו שום גישה אליה ואנחנו לא מכירים את החוקיות שלה.

הדבר הזה עוד יותר מסובך כשאנחנו חושבים על זה שהמרחב-זמן התחיל בנקודה הזאת. זאת אומרת שכל החוקים שאנחנו מכירים שהם בתוך המרחב והזמן לא רלוונטיים לנקודה שבה המרחב-זמן התחיל. רגע, מה זאת אומרת הזמן התחיל? זמן זה משהו שמתחיל, זמן זה לא פשוט משהו פסיבי שקורה עם הזמן?

אז לא ממש, כי לפי הפיזיקה המודרנית הזמן הוא מימד, בדיוק כמו אורך או רוחב או גובה. ולכן המפץ הגדול התחיל גם את עצם ספירת הזמן. לפני המפץ הגדול לא היה זמן ובנקודה הסינגולרית לא ברור בדיוק איך נראה הזמן והמרחב.

איפה עוד אנחנו יכולים למצוא את הסינגולריות הכבידתית, את אותה נקודה בה צפיפות החומר היא אינסופית? אז אנחנו יכולים למצוא את זה גם בחורים שחורים, אובייקטים שמימיים שכוח הכבידה בהם כל כך חזק שאפילו האור עצמו לא יכול להימלט מהם.

אז אחרי כל התיאור הזה שווה להעלות כמה שאלות. מה זאת אומרת שיש צפיפות אינסופית של חומר בנקודה מסוימת? מה זה צפיפות אינסופית? הרי במהלך כל הפרק הזה דיברנו על הבעייתיות בחשיבה על אינסוף בתור משהו מוחלט שקיים במציאות.

אפשר לדבר על זה בתור משהו מתמטי, אבל ברגע שאנחנו מגיעים לקיום של זה בעולם הפיזיקלי, בעולם שאנחנו מכירים, אנחנו חוזרים לטיעונים של אריסטו והאמפריציסטים שאמרו 'לא ברור אם יש אינסוף שהוא אקטואלי, אלא רק אינסוף פוטנציאלי'. או בעברית, אינסוף זה משהו שנוח להשתמש בו בתיאוריות, אבל לא במציאות, לא בתכל'ס.

אז חלק מהמדענים באמת חושבים שהסיפור הזה של סינגולריות כבידתית היא איזשהו חור בתורת היחסות של איינשטיין. זאת אומרת שברגע שיהיה לנו כלים יותר מתקדמים ונבין יותר טוב את מכניקת הקוונטים, לדוגמה, אז נוכל לעקוף את זה ונבין שזה לא ממש אינסוף מה שקורה שם.

הדיון הזה ממשיך עד היום ואין לו תשובה, אבל זה לא הדבר היחיד שאפשר לדבר עליו בהקשר של יקום ואינסוף, כי השאלה המתבקשת היא האם היקום והזמן הם אינסופיים? אז אפשר להגיד שלפחות מצד אחד היקום הוא סופי, בגלל שאנחנו מכירים את זה שיש לו התחלה, ההתחלה שלו היא במפץ הגדול. זאת אומרת, שמבחינת העבר, אז היקום הוא לא אינסופי. ולכן השאלה שנשאלת היא האם היקום בעתיד ימשיך להתפשט וימשיך להתקיים לנצח? והתשובה הכי אמיתית לשאלה הזאת היא שלאף אחד אין שום צל של מושג.

יש כל מיני תיאוריות, אבל עד שהדבר הזה לא יקרה אנחנו לא נדע. מה כן יודעים? אז יודעים שהיקום מתפשט. היקום מתפשט מאז המפץ הגדול והוא רק מתפשט יותר ויותר מהר. וחלק מהחוקרים אומרים שלפי מה שהם מבינים אין שום דבר שיעצור את ההתפשטות הזאת ולכן היקום ימשיך להתפשט לנצח, עד אינסוף.

מצד שני יש חוקרים שאומרים שבאיזשהו שלב היקום יפסיק להתפשט וגם יקרוס לתוך עצמו חזרה לאותה נקודה סינגולרית. זאת אומרת שלפי החוקרים האלה יש ליקום התחלה וגם סוף. אבל אולי יש גם אופציה שלישית שאומרת שהיקום הוא גם סופי וגם אינסופי. לאופציה הזאת קוראים יקום מחזורי או יקום מתנדנד.

תיאוריה זו טוענת שהיקום מתקיים במחזורים, מחזורים של עשרות מיליארדי שנים. כל מחזור חיים של היקום מתחיל במפץ גדול וממשיך להתפשטות של היקום, משם לבלימה של אותה התפשטות ולקריסה לתוך נקודה סינגולרית אחת.

ומה קורה מנקודה סינגולרית אחת? שוב מפץ גדול. וככה התהליך הזה נמשך לנצח עד האינסוף, ואנחנו מקבלים תיאוריה שטוענת שהיקום הוא כמו עוף החול, כל פעם מת ונולד מחדש, סופי ואינסופי. וזה כל מה שיש לי להגיד על הקוסמולוגיה של האינסוף.

ועכשיו נמשיך הלאה ונדבר על הסמל של האינסוף ועם זה נסיים את הפרק.

(מעברון מוזיקלי)

אז מה אנחנו יודעים להגיד על סמל האינסוף, אותו שמונה שכוב שמסמל נצחיות? מדובר בסמל שאנחנו יחסית נחשפים אליו הרבה בחיי היומיום - יש הרבה אנשים שיש להם קעקועים שלו, הוא משמש כסמל של הרבה חברות מסחריות, כמו מזרחי טפחות למשל, ובאופן כללי אפשר להגיד שהוא הפך להיות סמל רוחני ולא רק סמל שמייצג איזשהו משהו מתמטי.

כשמשוטטים באינטרנט, אפשר להגיע לאתרים שמדברים על אותו סמל אינסוף. באתרים האלה מדברים על זה שיש לו משמעות עמוקה שקשורה לרוחניות, לאהבה, ליופי ולעוצמה. זה הרי לא סתם סמל מתמטי, זה מסמל את המיסטיקה של העבר שלנו ואת ההזדמנויות שיש לנו עוד בעתיד, ואולי גם את האהבה הנצחית שכולנו מייחלים אליה.

אז מהו המקור של אותו סמל? מאיפה מגיעה כל העוצמה והרוחניות שלו? משיטוט באותם אתרים אפשר להבין שמדובר בסמל עתיק, עתיק כמו ההיסטוריה עצמה. הוא היה בשימוש כבר לפני 3,500 שנה במצרים העתיקה, וגם היוונים השתמשו בו.

ולמה הוא נראה כמו שהוא נראה? הרי מדובר בנחש, או אולי דרקון נחשי שאוכל את זנבו שלו, דבר שמסמל את אינסופיות היקום ואינסופיות החוויה האנושית.

נשמע טוב, לא? אז אני מצטער להגיד, כל מה שאמרתי עכשיו היה שטויות, היה פשוט מלא-מלא שטויות. זה לא היה שקר, כי זה באמת דברים שמצאתי באינטרנט, אבל אף אחד מהם לא נכון, בטוח שלא ברמה ההיסטורית.

אז מהי ההיסטוריה האמיתית מאחורי סמל האינסוף? מדובר בסמל שהומצא ב-1650 על ידי המתמטיקאי ואיש הכמורה הבריטי ג'ון ואליס, לא משהו שהומצא במצרים העתיקה. ואליס, שהיה מחלוצי העיסוק באינפי, המציא את הסמל פשוט כדי שיהיה איזשהו ייצוג גרפי למושג אינסוף.

אז למה זה נראה כמו שזה נראה? כנראה שוואליס ניסה לעשות איזשהו ייצוג שמתבסס על הספרות הרומיות של המספר אלף, או לחלופין על האות אומגה היוונית. הצורות הללו לא ממש זהות לצורה של אינסוף, אבל כנראה שהוא קצת חיבר את הקווים וככה זה נוצר.

וזהו, זה כל הסיפור. אין פה שום נחש שאוכל את עצמו ואין פה שום ייצוג מיסטי, סתם מתמטיקאי שחיפש סמל. וואלה, קצת מבאס. כאילו, כשחיפשתי על זה ציפיתי לקבל תשובה יותר מעניינת, אבל לפעמים ההיסטוריה היא פשוט מה שהיא, והיא לא הייצוג המיסטי והרוחניקי שאנחנו מחפשים שהיא תהיה.

מאיפה הגיע כל הסיפור הזה של הנחש? מסמל אחר שקוראים לו אורובורוס, והוא באמת סמל מצרי של נחש שאוכל את עצמו, אבל אין לו שום קשר לאותו סמל של אינסוף שכולנו מכירים, אותו שמונה שכוב. מה לעשות, לפעמים דברים הם פשוט מה שהם.

זהו, סיימנו את הפרק הזה. אני בטוח שיש עוד המון המון המון דברים שאפשר להגיד על האינסוף, יש כנראה אינסוף דברים שאפשר להגיד על האינסוף, ואם תיכנסו לקבוצת הפייסבוק שלנו תוכלו למצוא עוד רפרנסים ועוד התייחסויות לנושא הזה.

אני רוצה להגיד המון תודה לדנה גינסבורג שהציעה את הרעיון לפרק. אני רוצה גם להגיד הרבה מאוד תודה לדניאל בכמט ואסף אתגר שעזרו לי עם התכנים.

וכמובן תודה רבה לכם שהאזנתם, מקווה שנהנתם והשכלתם ושאולי הצלחתי למלא לכם אפילו בקצת את החור בהשכלה.

 

לעוד פרקים של הפודקאסט לחצו על שם הפודקאסט למטה

11 views0 comments

Comments

Couldn’t Load Comments
It looks like there was a technical problem. Try reconnecting or refreshing the page.
bottom of page